Санкт-Петербург, г. Санкт-Петербург и Ленинградская область, Россия
Статья посвящена рассмотрению ряда вопросов, связанных с созданием алгоритмического комплекса, предназначенного для решения позиционных и метрических задач с квадриками на проекционной модели G2 23. Особенностью комплекса является активное применение геометрических схем и алгоритмов с участием мнимых геометрических образов. В статье приведено подробное описание конструктивных геометрических алгоритмов для построения коник, квадрик и сопутствующих им геометрических образов в системе конструктивного геометрического моделирования Симплекс. Все обсуждаемые алгоритмы доступны для самостоятельного повторения читателем. В статье представлены и реализованы в виде конструктивных геометрически схем алгоритмы построения коники по точке, поляре и трем точкам; построения коники по двум парам комплексно сопряженных точек и одной действительной точке, выделения точки на поверхности квадрики, задания квадрики по девяти точкам в трехмерном пространстве. Рассмотрен новый альтернативный репер квадрики, на основе которого решены задачи построения касательной и нормали к квадрике, нахождения линии пересечения произвольной плоскости с квадрикой, выполнения полярного и инверсионного преобразований относительно квадрики. Предложены алгоритмы построения автополярного тетраэдра относительно квадрики, построения коники по автополярному треугольнику и двум точкам. Рассмотрены задачи определения коллинеарного преобразования в трехмерном пространстве и управление посредством него квадрикой. Реализация рассмотренных в статье алгоритмов позволила сделать вывод о назревшей необходимости разработки инструментальных средств, предназначенных для моделирования мнимых коник, без наличия которых комплекс решения задач с квадриками не может считаться полным.
научная визуализация, конструктивное геометрическое моделирование, геометрический эксперимент, проективная геометрия, квадрика, мнимые геометрические образы
1. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка [Текст] / А.В. Акопян, А.А. Заславский. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
2. Бакельман И.Я. Инверсия [Текст] / И.Я. Бакельман. — М.: Наука, 1966. — 79 с.
3. Белозеров Г.В. Топологическая классификация интегрируемых геодезических биллиардов на квадриках в трехмерном евклидовом пространстве [Текст] / Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна – 2020, материалы Международной конференции. — 2020. С. 60–62.
4. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования [Текст] / К.И. Вальков. — Л.: ЛИСИ, 1974. — 152 с.
5. Вертинская Н.Д. Моделирование поверхностей в методе двух изображений в начертательной геометрии [Текст] / Н.Д. Вертинская // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. — 2016. — № 1–3. — С. 334–338.
6. Вертинская Н.Д. Решения задач в методах моделирования и конструирования начертательной геометрии [Текст] / Н.Д. Вертинская // Научное обозрение. Технические науки. — 2016. — № 3. — С. 5-25.
7. Вертинская Н.Д. Теория нелинейных отображений многомерных моноидальных поверхностей и ее приложения [Текст]: дис. … д-ра техн. наук: / Н.Д. Вертинская. — Иркутск, — 2006. — 377 с.
8. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник [Текст] / В.Я. Волков [и др.]. — Омск: Изд.-во СибАДИ, 2010. — 253 с.
9. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация: монография [Текст] / Д.В. Волошинов. — Saarbrücken: Lambert Academic Publishing, 2010. – 355 c.
10. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О.А.Вольберг. — М.: Учпедгиз., 1949. — 188 с.
11. Ворожищев Я.С. Перспектива как частный случай трехмерной коллинеации и основная теорема перспективы [Текст] / Я.С. Ворожищев // Научные труды. — 2015. — № 34. — С. 88-98.
12. Гирш А.Г. Задание и построение квадрики [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 2. — С. 39–44. DOI: 10.12737/article_5953f2ecb89928.10381478.
13. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. — 216 с.
14. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 4. — С. 18–33. DOI: 10.12737/2308-4898-2020-18-33.
15. Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — C. 19–30. DOI: 10.12737/22840.
16. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 342 с.
17. Графский О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию: монография [Текст] / О.А. Графский // Рос. Федерация, М-во путей сообщ., ГОУ ВПО "Дальневост. гос. ун-т путей сообщ. МПС России". Хабаровск. — 2004. — 168 с.
18. Графский О.А. О взаимном пересечении квадрик с мнимым продолжением [Текст] / О.А. Графский, В.Г. Ли // Известия ТРТУ. 2004. — № 8 (43). — С. 249–253.
19. Досколович Л.Л. Расчет зеркала для формирования заданного непрерывного распределения освещенности на основе метода согласованных квадрик [Текст] / Л.Л. Досколович, М.А. Моисеев, К.В. Борисова // Компьютерная оптика. — 2015. — Т. 39. — № 3. — С. 347–356. DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-3-347-356.
20. Егоров Н.А. Геометрические образы поверхностей вращения в четырехмерном пространстве [Текст] / Н.А. Егорьев, И.В. Бубякин, О.Н. Попов // XVII и XVIII Лаврентьевские чтения сборник статей научной конференции школьников, студентов, аспирантов и молодых ученых Республики Саха (Якутия). — 2015. — С. 15–21.
21. Жижилкин И.Д. Инверсия [Текст] / И.Д. Жижилкин — М.: Изд-во МЦНМО, 2009. – 72 с.
22. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 3–8. DOI: 10.12737/12163.
23. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 26-27. DOI: 10.12737/6518.
24. Игнатьев Ю.Г. Программное обеспечение теории кривых второго порядка в пакете компьютерной математики [Текст] / Ю.Г. Игнатьев, А.Р. Самигуллина // Филология и культура. — 2011. — № 4 (26). — С. 24-29.
25. Короткий В.А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданной девятью точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 2. — C. 3–12. DOI: 10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
26. Короткий В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых [Текст] / В.А. Короткий // Научная визуализация. — 2018. — Т. 10. — № 1. — С. 56-68. DOI: 10.26583/sv.10.1.04.
27. Короткий В.А. Конические сечения в компьютерной графике [Текст] / В.А. Короткий // Наука ЮУрГУ материалы 70-й научной конференции. Южно-Уральский государственный университет. — 2018. — С. 105–109.
28. Короткий В.А. Мнимые линейные элементы в алгебре, геометрии и компьютерной графике [Текст] / В.А. Короткий //Прикладная математика и фундаментальная информатика. — 2019. — Т. 6. — № 2. — С. 34–48. DOI: 10.25206/2311-4908-2019-6-2-34-48.
29. Короткий В.А. Соприкосновение конических сечений [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — C. 36–45. DOI: 10.12737/21532.
30. Короткий В.А. Центральное проецирование двух компланарных коник в две окружности / В.А. Короткий // Проблемы качества графической подготовки. Материалы IV международной Интернет-конференции. Февраль – март 2014 г. Пермь, 2014.
31. Короткий В.А. Универсальный компьютерный коникограф [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова // GraphiCon 2016: тр. 26-й Междунар. науч. конф.; 19–23 сентября 2016. – Н. Новгород. 2016. — С. 347–351.
32. Косякова Е.Ю. К вопросу моделирования отсеков двумерных обводов с заранее заданным порядком соприкосновения [Текст] / Е.Ю. Косякова // Моделирование, оптимизация и информационные технологии. — 2018. — Т. 6. —№ 1 (20). — С. 53–60.
33. Леонова Л.М. Сечение квадрики как отображение его на плоскость проекций [Текст] / Л.М. Леонова, А.В. Федоров // Информационные технологии в науке и производстве Материалы Всероссийской молодежной научно-технической конференции / под ред. А.Г. Янишевской. — 2015. — С. 228–232.
34. Московцев М.Н. Групповая организация точечных экспериментальных данных на многомерных чертежах для оптимизационной обработки [Текст] / М.Н. Московцев, М.А. Чижик // Архитектура. Строительство. Транспорт. Технологии. Инновации Материалы Международного конгресса ФГБОУ ВПО «СибАДИ». — 2013. — С. 137–140.
35. Панчук К.Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатого пространства [Текст] / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник Кузбасского государственного технического ун-та. — 2007. — № 6 (64). — С. 55–58.
36. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия: учеб. пособие [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: Издательство ассоциации строительных вузов, 2007. — 104 с.
37. Полежаев Ю.О. Геометрические модели сопряжений квадрик на фрагментах архитектурных объектов [Текст] / Ю.О. Полежаев, А.А. Фаткуллина, А.Ю. Борисова // Вестник МГСУ. — 2012. — № 9. — С. 18–23.
38. Прокофьева И.В. Начертательная геометрия – трехмерная и многомерная [Текст] / И.В. Прокофьева, С.Г. Демидов // Инженерный вестник. — 2016. — № 3. — С. 5.
39. Сахарова Н.А. Сравнительный конструктивный и аналитический анализ трансформации квадрик [Текст] / Н.А. Сахарова, Ю.В. Пономарчук, О.А. Графский // Современная наука: новые подходы и актуальные исследования Материалы Международной (заочной) научно-практической конференции: под ред. А.И. Вострецова. — 2018. — С. 41–45.
40. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения [Текст] / П.В. Филиппов. — 2-е изд. — М.: ЛЕНАНД, 2016. — 282 с.
41. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. — М.: Учпедгиз, 1961. — 360 с.
42. Чижик М.А. Автоматизированная система поддержки геометрического моделирования технологий легкой промышленности [Текст] / М.А. Чижик, М.Н. Московцев, И.В. Федотова // ГРАФИКОН'2016 Труды 26-й Международной научной конференции. — 2016. — С. 513–517.
