Введение
При проектировании и создании различных инженерных конструкций и устройств, составными частями которых являются балки, пластинки, оболочки необходимо учитывать влияние окружающей среды и внешних воздействий различной природы, в том числе температурных [1, 2].
Для учета температурных воздействий используется дифференциальное уравнение теплопроводности [3]. При решении дифференциального уравнения в частных производных численными методами необходимо обосновать достоверность получаемого численного решения. В настоящей работе проведено сравнение численного решения уравнения второго порядка в частных производных и аналитического решения. Для получения аналитического решения используется метод вариационных итераций [4]. Этот метод был использован в работах [5, 6] для решения уравнения, описывающего перемещения тонкой прямоугольной пластины. Применяемый метод вариационных итераций обладает рядом преимуществ. Этот метод позволяет свести исходное дифференциальное уравнение в частных производных к решению обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и избавляет от необходимости выбирать начальное приближение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, как в методе Бубнова-Галеркина [7]. Заданные вначале функции, выбранные произвольно, в процессе вычислений уточняются, исходя из решения системы дифференциальных уравнений. Данный подход позволит сравнить решения уравнения теплопроводности, полученные двумя принципиально разными методами: аналитически – методом вариационных итераций и численно – методом конечных разностей.
1. Постановка задачи
Имеется дифференциальное уравнение теплопроводности для двумерного тела.
. (1)
Граничные условия:
|
|
(2) |
Граничные условия (2) соответствуют случаю, когда на границах присутствует тепловая изоляция и постоянный нагрев по всему телу, величиной С. Этот вариант будет решён аналитически, а так же, в качестве достоверности, найдём решение численным методом.
2. Практическая часть
Найдем решение уравнения (1), в случае, когда учитывается внутренний источник тепла C в виде (3):
(3)
Граничные условия запишем в виде:
(4)
В используемом методе полагается что:
(5)
(6)
Для нахождения искомого решения полагаем, что B(y) - любая функция, имеющая непрерывную вторую производную и не равную нулю. Тогда:
(7)
Пусть.
Получилось неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции А(x).
. (8)
Решается неоднородное дифференциальное уравнение, находятся корни характеристического уравнения. В зависимости от знака константы R2 определяется тип решения дифференциального уравнения.
(9)
Находим константы относительно граничных условий (4). Так как константы две, нужно использовать 2 точки на границах двумерного тела. Эти точки должны лежать на одной прямой и быть параллельными оси x.
Аналогичным образом находиться функция B(y). В ходе решения A(x) заменяется на B(y) и повторяются те же рассуждения. В итоге мы получаем функцию вида (7). Для уточнения решения проводим вторую итерацию.
Итак, для нахождения функции T(x,y) положим что B(y)=sin y, l=h=1 и внутренний источник тепла С=1. Выполнив первую итерацию, получаем аналитическое решение уравнения (3) вида (10).
(10)
На рисунке 2 приведем поверхность, соответствующую аналитическому решению.
Для проверки достоверности проведём численное решение уравнения (3) с помощью метода конечных разностей. Решение, полученное методом конечных разностей с аппроксимацией второго порядка, приведено на рисунке 3. Количество разбиений по пространственной координате равно 50.
Максимальное значение аналитического решения составляет 0.07542211, а максимум численного решения 0.07315. Разница между аналитическим и численным решением составляет 0,3 %. Учитывая, что аналитическое решение получено за одну итерацию, можно говорить о точности получаемого численного решения.
Выводы
Совпадение этих двух решений позволяет говорить о достоверности результатов получаемых численными методами и аналитически. При решении уравнения методом вариационных итераций не накладывается каких-либо ограничений на выбор исходной функции. Метод вариационных итераций может быть широко применен для получения аналитических решений дифференциальных уравнений в частных производных.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, грант № 16-11-10138-П.
