Все возводимые сооружения претерпевают различные вертикальные и горизонтальные перемещения, учет которых необходим при расчете оснований сооружений.
Известно, что при проектировании фундаментных частей сооружений или грунтовых сооружений в качестве одного из основных принимается условие, чтобы все виды перемещений не превышали значений предельных, устанавливаемых проектом значений. Поэтому расчет оснований сооружений по второй группе предельных состояний, т.е. по деформациям, является одной из важнейших задач механики грунтов.
Экспериментально установлено [1], что деформации грунтов под фундаментами развиваются, в основном, в верхней части основания, поэтому исследование напряженно-деформированного состояния оснований сооружений можно проводить, применяя расчетные модели, основанные на решениях теории упругости [2-6]. Среди таких моделей наиболее широкое распространение получила модель линейно-деформируемой среды, в рамках которой анализ напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов можно проводить методами линейной теории упругости [7-12].
Безусловно, определение вертикальных перемещений, т.е. осадок, является одной из наиболее распространенных задач механики грунтов, однако в некоторых случаях возникает необходимость вычисления горизонтальных перемещений, например, при расчете оснований фундаментов распорных сооружений (арки, фермы, фундаменты с наклонной подошвой и т.д.).
В статьях [12, 13] авторами данной работы было рассмотрено решение задачи о распределении напряжений в грунтовом массиве при равномерном вертикальном и, соответственно, горизонтальном перемещениях участка границы упругой полуплоскости. На основании полученного решения было выведена формула осадки при равномерном перемещении участка границы.
На практике наблюдаются и неравномерные, например, линейные перемещения, моделирующие крены сооружений. В работах [14,15] были рассмотрены задачи о напряженно-деформированном состоянии грунтового массива при линейном перемещении участка границы полуплоскости; получена формула осадки.
Однако возможен и другой вид неравномерного перемещения, не сводящегося к линейному закону. Он связан с перемещением, в результате которого возникают прогибы и выгибы сооружений. Аналогичный вид имеет форма мульды оседания земной поверхности под влиянием подземной выработки (рис.1). Предположим, что граничную линию перемещения такого типа в некоторых случаях можно аппроксимировать полиномом второго порядка.
Заметим, что во всех рассмотренных выше случаях известна форма перемещения участка границы полуплоскости. Это обстоятельство дает возможность применить для исследования напряженно-деформированного состояния грунтового массива один из наиболее эффективных методов решения задач плоской теории упругости – метод комплексных потенциалов. Разработанный Г.В. Колосовым [17] и существенно дополненный Н.И. Мусхелишвили [18], он нашел важные применения в механике деформируемого твердого тела и ее приложениях [19-25]. Этим методом был решен ряд актуальных задач геомеханики, связанных с исследованием напряженно-деформированного состояния горных и грунтовых массивов [26-28]; решения задач, изложенных авторами в цитированных выше статьях, также были получены методом комплексных потенциалов.
В статье [29] в рамках модели линейно-деформируемой среды была рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при перемещении участка границы полуплоскости, представляющем собой полином второй степени. При этом получение выражения для осадки, возникающей при вертикальном и горизонтальном перемещениях участка границы полуплоскости в цитированной работе не предполагалось. Эта задача является целью данной статьи.
где Ey (x,y) компонента вертикальной деформации, H (x,y) вертикальное перемещение в точке с координатами (x,y), а y, например, глубина сжимаемого слоя.
Следуя [28], приведем компоненты напряжения и деформации для закона нелинейного перемещения (1) при r = q = 0. Имеем
Заметим, что при неограниченном увеличении 
и 
значения горизонтального, вертикального и касательного напряжений стремятся к нулю.
Для определения компоненты вертикальной деформации воспользуемся известной формулой [18, с. 95],
Ниже приведены таблицы 1 и 2 значений осадки для глинистого и песчаного грунтов с коэффициентами Пуассона . При отрицательных значениях , ввиду четности функции , знак осадки сохраняется.
Нетрудно видеть, что
На рис.4-5 приведены изолинии осадки, построенные для глинистого и песчаного грунтов, на основании формул (14) и (15) при r =1, a = 10
В таблицах 3 и 4 приведены значения осадки для глинистого и песчаного грунтов при неотрицательных значениях . При отрицательных значениях , знак осадки ввиду нечетности функции по аргументу x меняется, на противоположный.
На рис.6-7 приведены изолинии осадки, построенные для тех же двух типов грунтов на основании формул (17) и (18) при q = 1, a = 10
В таблицах 5 и 6 приведены значения осадки для глинистого и песчаного грунтов при неотрицательных значениях x 
. При отрицательных значениях , знак осадки не меняется ввиду четности осадки (x,y) как функции аргумента.
В таблицах 7 и 8 приведены значения осадки для глинистого и песчаного грунтов при неотрицательных значениях 
. При отрицательных значениях , знак осадки, как и в предыдущих случаях, остается прежним ввиду четности функции осадки s (x,y) по аргументу.
Выводы
1. Получена формула осадки для участка границы полуплоскости, линия перемещения которого является полиномом второго порядка. Приведенное выражение для осадки является функцией коэффициента Пуассона (коэффициента бокового давления).
2. Частными случаями нелинейного перемещения являются равномерное и линейное перемещения участка границы полуплоскости.
3. Соотношение для вертикального перемещения является нечетной функцией ординаты, а соотношение для горизонтального перемещения является четной функцией ординаты.
4.При горизонтальном перемещении (сдвиге) заданного участка грунтового массива осадка затухает, при вертикальном перемещении (смещении) участка грунтового массива с ростом глубины значение осадки стремится к величине , выражающей закон нелинейного перемещения.
