Челябинск, Челябинская область, Россия
Кассель, Германия
Кривые второго порядка применяются в качестве формообразующих элементов при проектировании технических устройств и архитектурных сооружений. При этом может возникать потребность в решении задачи реконструкции. Реконструкцией называют определение главных осей и асимптот кривой второго порядка по ее неполному изображению, содержащему n точек и m касательных (n + m = 5). В графических системах CAD не предусмотрена возможность построения кривой второго порядка, заданной действительными и мнимыми точками и касательными. Поэтому реконструкция кривой второго порядка не может быть выполнена стандартным набором средств компьютерной графики. В статье предлагаются геометрически точные алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной смешанным набором действительных и мнимых элементов. Для конструктивной реализации алгоритмов разработан специализированный пакет программ. Мнимые геометрические образы попарно сопряжены, поэтому существует всего семь возможных сочетаний исходных данных с участием мнимых элементов: пять точек, две из которых мнимые; пять точек, четыре из которых мнимые; три действительные точки, две мнимые касательные; действительная точка, четыре мнимые касательные; действительная точка, две мнимые точки, две мнимые касательные; действительная точка, две мнимые точки, две действительные касательные; две действительные точки, две мнимые точки, действительная касательная. Для решения задачи реконструкции используется основное свойство полярного соответствия: если P и p – полюс и поляра относительно конического сечения g, то гармоническая гомология с центром P и осью p преобразует кривую g в себя. Рассмотрен способ решения, основанный на проективном преобразовании искомого конического сечения в окружность. Показано, что в некоторых случаях для решения задачи требуется применять квадратичное инволюционное преобразование, установленное на плоскости пучком конических сечений. Разработанная методика и пакет программ расширяют возможности компьютерного геометрического моделирования процессов, происходящих с участием кривых второго порядка.
гармоническая гомология, эллиптическая инволюция, поляритет, пучок конических сечений, автополярный треугольник, квадратичная инволюция
Кривые второго порядка (КВП, конические сечения, коники) применяются как для изображения различных кинематических процессов (траектории, орбиты и т.п.), так и в качестве формообразующих элементов при проектировании технических устройств и архитектурных сооружений. При этом может возникать потребность в решении задачи реконструкции. Реконструкцией КВП называют определение метрики (главных осей, асимптот) кривой второго порядка по ее неполному изображению, содержащему n точек и m касательных (n + m = 5).
Известны графические алгоритмы определения метрики КВП для случая, когда заданные элементы (точки и касательные) действительны [4; 17; 18]. Для случая, когда некоторые точки и касательные к искомой КВП — мнимые (комплексно сопряженные), алгоритмы определения метрики КВП отсутствуют.
Цель работы — составить геометрически точный алгоритм реконструкции кривой второго порядка, заданной смешанным набором действительных и мнимых элементов (точек и касательных). Геометрически точным алгоритмом называют последовательность построений с использованием только двух графических примитивов — прямой линии и окружности [1].
1. Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В. Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 1. — C. 3–15. — DOI: 10.12737/10453.
2. Волошинов Д.В. Конструктивное геометрическое моделирование. Теория, практика, автоматизация [Текст]: монография / Д.В. Волошинов. — Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. — 355 с.
3. Вольберг О.А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О.А. Вольберг. — М.-Л.: Учпедгиз, 1949. — 188 с.
4. Геронимус Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов [Текст] / Я.Л. Геронимус. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 1962. — 399 с.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2008. — 216 с.
6. Гирш А.Г. Комплексная геометрия — евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2013. — 216 с.
7. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
8. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — C. 4–17. — DOI: 10.12737/14415.
9. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 343 с.
10. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 2012. — 472 с.
11. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей. Математическое моделирование на основе нелинейных преобразований [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.
12. Иванов Г.С. Конструктивный способ исследования cвойств параметрически заданных кривых [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 3. — C. 3–6. — DOI: 10.12737/6518.
13. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
14. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. — М.: УРСС, 2004. — 400 с.
15. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. — М.: Наука, 1987. — 416 с.
16. Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость [Текст] / Х.С.М. Кокстер. — М.: Физматлит, 1959. — 280 с.
17. Короткий В.А. Синтетические алгоритмы построения кривой второго порядка [Текст] / В.А. Короткий // Вестник компьютерных и информационных технологий. — 2014. — № 11. — С. 20–24. — DOI: 10.14489/ issn.1810-7206.
18. Короткий В.А. Проективное построение коники [Текст] / В.А. Короткий. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2010. — 94 с.
19. Короткий В.А. Квадратичное преобразование плоскости, установленное пучком конических сечений / В.А. Короткий // Омский научный вестник. Серия «Приборы, машины и технологии». — 2013. — № 1. — С. 9–14.
20. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: АСВ, 2000. — 344 с.
21. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: АСВ, 2007. — 104 с.
22. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011.
23. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — C. 22–23. DOI: 10.12737/465.
24. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — C. 44–54. — DOI: 10.12737/18057.
25. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И.М. Дмитриева [и др.] // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3/4. — C. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
26. Суворов Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных [Текст] / Ф.М. Суворов. — Казань: Типография императорского университета, 1884. — 130 с.
27. Фокс А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве [Текст] / М. Пратт, А. Фокс. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
28. Шикин Е.В. Кривые и поверхности на экране компьютера [Текст] / Л.И. Плисс, Е.В. Шикин. — М.: ДиалогМИФИ, 1996. — 240 с.
