Введение
Динамический расчет [1] в работе проведен для проверки формализованных алгоритмов динамических расчётов допустимости внутренних усилий и перемещений с точки зрения выполнения требований прочности, жесткости и выносливости, санитарно-гигиенических норм, технологии производства ]2,3]. При невыполнении допустимых норм возникает необходимость в уменьшении уровня колебаний. Из-за различных внешних воздействий на здания и сооружения и их конструктивные элементы, а также из-за динамических реакций конструктивных элементов и зданий в целом на эти воздействия, - элементы зданий подвержены сложным импульсным динамическим колебательным процессам с различными частотами и амплитудами. Предполагаемый вариант поведения конструктивов здания представлен на рис.1:
Рис.1. Вариант колебаний конструктивных элементов зданий с представлением колебательных процессов соответствующими расчётными схемами
Целью настоящей работы является возможная формализация и автоматизация процесса поиска динамических реакций элементов зданий и сооружений на внешние импульсные воздействия разной природы.
Методы исследований
Для определения динамических взаимодействий изучаемых объектов друг с другом и с несущим остовом здания [4,5] разработана специальная схема, рис. 2:
Рис. 2. Расчётная схема для определения динамических реакций связей
при возможном вращении элементов здания вокруг вертикальной оси «Z»,
Уравновешивание приведенной на рис. 2 системы сил выполняется в точках «А» и «В». Поэтому, эти точки представляются концентраторами реактивных сил на внешние воздействия. Составив проекционные условия кинетостатического равновесия [6], получим систему уравнений равновесия сил и моментов:
$X_{Адин}+X_{Вдин}+my_C \ddot φ +mx_C \dot φ^2=0$
$Y_{ Адин}+Y_{ Вдин} + my_ C \ddot φ + my_ C \dot φ^ 2 =0$
$Z_{ Адин}=0$
$Y_{ Адин}|Z_A|+ Y_{ Вдин}|Z_B| + I_{xz} C \ddot φ - I_{yz}C \dot φ^ 2 =0$
$-X_{ Адин}|Z_A|+ X_{ Вдин}|Z_B| + I_{yz} C \ddot φ - I_{xz}C \dot φ^ 2 =0$
где XАдин, XВдин, YАдин, YВдин — соответствующие динамические реакции связей в форме реакции на импульсные динамические воздействия. Формализованная реализация алгоритма символьного решения системы уравнений равновесия представлена на рис. 3:
Рис. 3. Реализация формализации алгоритма
символьного нахождения динамических реакций связей в точках «А» и «В»
Очевидно, что характер взаимодействия связей на расчетной схеме, а по существу узлов крепления с несущими конструкциями зданий, носит явно выраженный импульсно-динамический характер {7}. Построим эпюры динамических воздействий (М) [8,9] при двух частотах возмущающей нагрузки:
Таблица 1
|
1, м |
h, м |
q, кН/м |
Р, кН |
m, кНм |
|
9 |
6 |
1 |
20 |
30 |
Составим расчётную схему, рис. 4:
Рис. 4. Расчётная схема узла соединения элементов здания
с сосредоточенными в точках «А» и «В» массами
Результаты исследований
Число степеней свободы массы приведенной системы: n = 2. Величина сосредоточенных масс: m1 = m; m2 = m + a m = m + 2m = 3m. Составим частотное уравнение. Определим спектр частот собственных колебаний. Найдём формы собственных колебаний. Запишем уравнения частот в общем виде:
$\begin{pmatrix}
δ_{11}∙m_1-μ_1 & δ_{12}∙m_1 \\
δ_{21}∙m_2 & δ_{21}∙m_2-μ_2 \\
\end{pmatrix}=0$;
$μ=\frac{1}{ω^2}$
Приложим единичные усилия по направлению колебаний сосредоточенных масс, построим единичные эпюры моментов, и определим коэффициенты указанного «векового» уравнения, рис. 5:
Рис. 5. Определение коэффициентов уравнения
Составим характеристическое уравнение:
$(μ_1)^2-\frac{11925∙m}{EI}∙μ_1+\frac{3044304∙m^2}{EI^2}=0; μ_1=\frac{11664∙m}{EI}; μ_2=\frac{261∙m}{EI}$
Определим частоты собственных колебаний конструктивов узла:
$ω_1=\sqrt{\frac{1}{μ_1}}=\frac{1}{108}∙\sqrt{\frac{EI}{m}} ; ω_2=\sqrt{\frac{1}{μ_1}} =frac{1}{16.155}∙\sqrt{\frac{EI}{m}}$;
Выберем минимальное значение из двух значений частот собственных колебаний:
$ω_{min}=ω_1=\sqrt{\frac{1}{μ_1}=\frac{1}{108}∙\sqrt{\frac{EI}{m}$;
Формы колебаний найдём, переписав систему уравнений следующим образом:
$\begin{pmatrix}
(δ_{11}∙m_1-μ_1)∙v_1 & (δ_{12}∙m_1)∙v_{2i} \\
δ_{21}∙m_2∙v_1 & (δ_{21}∙m_2-μ_2)∙v_{2i} \\
\end{pmatrix}=0$;
Будем считать, что
Будем считать, что (i=2)
Представим обе формы колебаний рис. 6:
Рис. 6. Первая и вторая формы найденных колебаний
Построим эпюру моментов от амплитудных нагрузок, рис. 7:
Рис. 7. Эпюры моментов от амплитудных нагрузок
Определяем свободные члены системы канонических уравнений, рис. 8:
Рис. 8. Формализованный алгоритм и значения свободных членов системы канонических уравнений
Запишем систему канонических уравнений для определения амплитудных значений инерционных сил:
$\begin{cases}
δ_{11}^*∙x_1+δ_{12}∙x_2+∆_{1p}=0 \\
δ_{22}∙x_1+δ_{22}^*∙x_2+∆_{2p}=0
\end{cases}$
Вычислим главные коэффициенты системы канонических уравнений:
Тогда
$δ_{11}^*=δ_{11}=-\frac{1}{m_1∙θ^2}=\frac{2448}{EI}-\frac{1}{m∙\frac{1}{135}∙\sqrt\frac{EI}{m}0^2}=-\frac{2916}{EI}$
$δ_{22}^*=δ_{22}=-\frac{1}{m_2∙θ^2}=\frac{3159}{EI}-\frac{1}{3m∙\frac{1}{135}∙\sqrt\frac{EI}{m}0^2}=-\frac{2916}{EI}$
Решая систему канонических уравнений определяем амплитудные значения инерционных сил x1 = -13,968 [кН] и x2 = -49,833 [кН]. Теперь можно построить «исправленную» динамическую эпюру моментов, рис.10, с учётом
Рис. 9. Построение динамической эпюры моментов
Заключение
Вывод 1. Задача расчёта на импульсную динамическую нагрузку узла соединения элементов здания формализована.
Вывод 2. Задача расчёта на импульсную динамическую нагрузку узла соединения элементов здания автоматизирована.
