About the Tasks of Descriptive Geometry With Imaginary Solutions

G. Ivanov; I. M. Dmitrieva

doi:doi:10.12737/12163

About the Tasks of Descriptive Geometry With Imaginary Solutions

Published в Geometry & Graphics · Volume 3, Issue 2, 2015 · Pages 3–8 · Rubrics: Scientific problems of geometry

DOI 10.12737/12163

Received: 10.06.2015 Accepted: 10.06.2015 Published: 10.06.2015 Language of publication: RUS

Authors

G. Ivanov · I. M. Dmitrieva ²

2 Mytischinskiy filial MGTU im. N.E. Baumana
Russian Federation

ABSTRACT

The article is devoted to the discussion of the scientific methodological problems of presentation tasks of descriptive geometry along with having real and imaginary solutions. Examples of such problems are given, graphics solutions who give the wrong answers. As a consequence they resulted in some the textbooks on descriptive geometry to the emergence false claims type “ the curve degenerates to a point”, “a torus is a surface of the second order”, “conical and cylindrical surfaces are a special cases of the torsoboy surface in the case of degeneration of the ribs return torsoboy the surface at the point, etc.” In the article gives a correct mathematical interpretation of imaginary solutions the tasks by considering of examples an the determine the order and class of plane algebraic curve, the isolated point touch, of the line of intersection of surfaces of the second order with a common plane of symmetry. To obtain a mathematically valid answers the conclusion about the need for a combination of graphical and analytical solutions. This approach meets the requirements of the GEF on ensure as intrasubject discussed in this publication, and so interdisciplinary competencies. The latter have a broad outlet of descriptive geometry in complex space in the theory of algebraic curves and surfaces, kremenovic transformations, field theory, etc.

KEYWORDS

the imaginary point an isolated point isotropic the direct imaginary tangent the order of the curve class curve.

Information Text References

Authors:

2. Mytischinskiy filial MGTU im. N.E. Baumana

Russian Federation

Type:

Article

Pages:

from 3 to 8

Status:

Published

Language:

Russian

Keywords:

the imaginary point, an isolated point, isotropic the direct, imaginary tangent, the order of the curve, class curve.

Text

В учебных курсах начертательной геометрии рассматриваются лишь графические способы решения геометрических задач. Поэтому в случае мнимых решений (координаты искомых точек являются комплексными числами, коэффициенты в уравнениях искомых линий или поверхностей также являются комплексными числами) указывают на отсутствие решения. В настоящее время только в классах с математическим уклоном говорят о наличии двух мнимых решений у квадратного уравнения с одной неизвестной, если его дискриминант меньше нуля. Для остальных учеников средней школы такое уравнение решения не имеет.

Несмотря на существование решения с позиций алгебры, в начертательной геометрии говорят об отсутствии пересечения кривой линии и поверхности, двух поверхностей, если нет действительных точек или линий пересечения. Такие утверждения, как правило, не влияют на результаты построений в инженерной графике. Но они зачастую искажают результаты решения ряда задач самой начертательной геометрии. Например, графический способ определения порядка алгебраических кривых или поверхностей выше второго обычно дает неправильный ответ. Приведем пример: автор учебного пособия [15], судя по его названию, всерьез считает тор поверхностью второго порядка. Но этот «грех» не идет ни в какое сравнение с уравнением, содержащимся в этом пособии, «заимствованным» из статьи Е.А. Глазунова [2]. Кстати, эта статья содержит великолепный исходный материал для обсуждения темы настоящей публикации.

References

1. Girsh A.G. Nagljadnaja mnimaja geometrija [Visual imaginary geometry]. Moscow, OOO «IPC «Maska» Publ., 2008.

2. Glazunov E.A. O proekcii linii peresechenija dvuh poverhnostej vtorogo porjadka, imejushhih obshhuju ploskost´ simmetrii [About the projection of the line of intersection of two surfaces of the second order having a common plane of symmetry]. Trudy moskovskogo seminara po nachertatel´noj geometrii i inzhenernoj grafike [Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике]. Moscow, «Sovetskaja nauka» Publ., 1958, pp. 35-69. (in Russian).

3. Grafskij O.A. Teoretiko-konstruktivnye problemy modelirovanija mnimyh jelementov v nachertatel´noj geometrii i ee prilozhenijah. Dokt. Diss. [Theoretical and constructive problems modeling the imaginary elements of descriptive geometry and its applications. Doct. Diss.]. Moscow, 2004. (in Russian).

4. Ivanov G.S. Teoreticheskie i konstruktivno-prikladnye voprosy kvadratichnyh kremonovyh involjucij. Kand. Diss. [Theoretical and constructive -applied questions quadratic kremon of involutions. Cand. Diss.]. Moscow, 1968. (in Russian).

5. Ivanov G.S. Perspektivy nachertatel´noj geometrii kak uchebnoj discipliny [Descriptive geometry prospects as educational subject]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 26-27. DOI:https://doi.org/10.12737/467. (in Russian).

6. Ivanov G.S. Kompetentnostnyj podhod k soderzhaniju kursa nachertatel´noj geometrii [Competence approach to descriptive geometry syllabus]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, v. 1, i. 2, pp. 3-5. DOI:https://doi.org/10.12737/775. (in Russian).

7. Peklich V.A. Mnimaja nachertatel´naja geometrija [Imaginary descriptive geometry]. Moscow, Associaciya stroitel´nyh vuzov Publ., 2007. (in Russian).

8. Savelov A.A. Ploskie krivye [Flat curves]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960. (in Russian).

9. Savel´ev Ju.A. Grafika mnimyh chisel. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 22-23. DOI:https://doi.org/10.12737/2079. (in Russian).

10. Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav´ev K.A. Mezhdisciplinarnye svjazi nachertatel´noj geometrii i smezhnyh razdelov vysshej matematiki []. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 3-4, pp. 8-12. DOI:https://doi.org/10.12737/2124. (in Russian).

11. Smogarzhevskij A.S., Stolova E.S. Spravochnik po teorii ploskih krivyh tret´ego porjadka [A Handbook on the theory of plane curves of the third order]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. (in Russian).

12. Umbetov N.S. Konstruirovanie jekvipotencial´noj poverhnosti []. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 11-14. DOI:https://doi.org/10.12737/2075. (in Russian).

13. Frolov S.A. Nachertatel´naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. (in Russian).

14. Chetveruhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. M.: Prosveshhenie, 1969. (in Russian).

15. Chinareva L.D. Opredelenie geometricheskih parametrov proekcij linii peresechenija poverhnostej vtorogo porjadka na obshhie ploskosti simmetrii [The definition of the geometric parameters of the projections of the line of intersection of surfaces of second order on a common plane of symmetry]. Moscow, Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana Publ., 2011. (in Russian).

Доступ и загрузка

🗂 JATS XML ❝ To cite 📎 Citations

—

Views

—

Downloads

Citations

Индексируется в

RI RINC Indexing database

Indexing and databases

RINC →

About the Tasks of Descriptive Geometry With Imaginary Solutions

Confirmation

Регистрация