Введение
Задача об изгибе пластины на упругом изотропном и однородном основании рассматривалась в работах [1, 2]. Решение строилось путём представления контактных напряжений в виде степенного ряда, с последующим определением коэффициентов разложения из бесконечной алгебраической системы уравнений.
Методом ортогональных многочленов такая задача решалась в работах [3, 4], а методом коллокации по чебышёвским узлам - в работах [5, 6]. При этом возникала необходимость построить решение некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений и ставилась проблема исследования сходимости полученного решения к точному. В работах [7, 8] для решения задачи применялись асимптотические методы типа «больших λ» и специальных ортогональных многочленов, что позволило получить основные характеристики решения в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения характерных параметров задачи.
Отметим, что большинство известных решений эффективны только для жёстких пластин. И очень немногие, в частности, представленные в [7, 8], эффективны или для гибких, или для жёстких пластин.
Интерес к решению задачи и её актуальность сохраняется и в настоящее время. Так, в работе [9] решение строилось с использованием разложения напряжения в двойной ряд Фурье. Аналогичный подход использовался в работе [10]. Andrea R. D. Silva с соавторами развил численные методы решения задачи [11].
В настоящей работе развивается подход, основанный на двусторонне асимптотическом методе решения парных уравнений [12], позволяющий получить приближённое решение задачи в единой аналитической форме, применимой во всём диапазоне изменения геометрических и физических параметров задачи как для гибких, так и для жёстких пластин.
Постановка задачи
Круглая пластина радиуса R и постоянной толщины h лежит на границе Γ упругого полупространства Ω , состоящего из однородного мягкого слоя (покрытия) толщины H и
