Исследование различных процессов начинается с составления их математических моделей: составляются уравнения и неравенства, которые связывают между собой постоянные и переменные показатели. Эта система математических зависимостей является системой ограничений, в которых, меняя переменные, можно получить экстремальные варианты решений. Среди математического программирования выделяются задачи линейного программирования, где все составляющие представляют собой линейные зависимости, и квадратичного программирования, в котором составляющие могут быть составлены из квадратичных целевых функций и линейных ограничений. Квадратичное программирование относится к нелинейному программированию.
Задача квадратичного программирования в матричной записи формулируется следующим образом:
min{G(Х)|AХ ≤ b, x ≥ 0}, (1)
где А — прямоугольная m × n матрица коэффициентов при n независимых переменных;
Х — матрица-столбец из n независимых переменных;
b — матрица-столбец из m постоянных величин;
G(Х) — квадратичная целевая функция.
При графо-аналитическом решении задач квадратичного программирования возникает ряд частных геометрических задач, составляющих основную. Так, задачи с двумя независимыми переменными Х1 и Х2 [6, 7] решаются при помощи трех частных задач:
- определение точки пересечения N двух заданных прямых;
- прохождение преобразованной в гомотетии коники через имеющуюся точку N с известными координатами Х1N, X2N;
- касание преобразованной в гомотетии коники с заданной прямой.
Задачи с тремя независимыми переменными Х1, Х2, Х3 предполагают решение следующих частных задач:
- определение точки пересечения N трех заданных плоскостей;
- определение прямой LM — линии пересечения двух заданных плоскостей;
- прохождение преобразованной в гомотетии квадрики через известную точку N с координатами Х1N, Х2N, Х3N;
- касание преобразованной в гомотетии квадрики с имеющейся прямой LM;
- касание преобразованной в гомотетии квадрики с заданной плоскостью.
