Будем рассматривать упругую, однородную и изотропную среду. В.В. Новожиловым [1, 2, 3] показано, что если сплошная среда обладает упругим потенциалом, то последний является функцией трех инвариантов тензора деформаций
(1)
где U – упругий потенциал напряжений, J1, J2, J3 – инварианты тензора деформаций.
Разложим упругий потенциал в ряд по целым степеням инвариантов тензора деформаций. В результате этого потенциал приводится к виду
(2)
где А, В, Сi, Dj – физические константы, определяемые на основе экспериментальных данных.
Учитывая выражения в первых двух скобках получим форму упругого потенциала, предложенную Л. Бриллуэном [4] и развитую Р.Д. Мурнаганом [5].
Аппроксимация экспериментальных зависимостей кубической параболой, что соответствует членам в первых трех скобках в выражении (2), достаточно точно отражает результаты опытов и позволяет получить сравнительно простые зависимости между напряжениями и деформациями. Учитывая это, принимаем упругий потенциал в виде
(3)
Используя этот потенциал в работах [6] получена связь между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для нелинейно-упругого разносопротивляющегося материала для плосконапряженного состояния
(3)
Здесь G – модуль сдвига, ν0 – начальный коэффициент Пуассона, А1, А2, В1, В2, В3, – упругие постоянные которые определяются из шести условий, первые четыре из которых выражают равенство пределов прочности экспериментальной и аппроксимирующей диаграмм в растянутой и сжатой зонах при одноосном напряженном состоянии и двухосном равномерном растяжении и сжатии, пятое – равенство пределов прочности при сдвиге и последнее – равенство предельной деформации экспериментальной и аппроксимирующей диаграммы[7].
Рассмотрим сферическую оболочку для интегрирования нелинейной системы дифференциальных уравнений применим метод последовательных нагружений. В.В. Петров [8] доказал, что уравнения метода последовательных нагружений представляют собой дифференциал Фреше исходных уравнений.
Так как нелинейными исходными уравнениями являются только физические уравнения (3) можно сразу лианизировать эти уравнения, продифференцровав по Фреше, и при выводе разрешающих дифференцирующих уравнений пользоваться уже линейными относительно приращений перемещений Δu и Δw уравнениями.
В результате приходим к линейным дифференциальным уравнениям[6].
(4)
Процесс расчета сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которой, а также правые части зависят от шага нагрузки [6]. С помощью матрицы, дифференцирования от системы дифференциальных уравнений приходим к матичным выражениям.
Для одномерной задачи при делении оси на n участков формула численного дифференцирования может быть записана применительно к некоторой обобщенной функции w, в следующем виде
(5)
Здесь матрицы {d}n и {D}n,n+1 аналогичны матрицам дифференцирования А.В. Александрова [9, 10].
В систему дифференциальных уравнений (4) входят производные до четвертой степени включительно. Из формулы (5) после простых преобразований получаем матричные выражения для высших производных.
(6)
где
(7)
Учитывая полученные матричные выражения для дифференциальных операторов, систему уравнений (4) можно записать в матричной форме
(8)
К полученным 2(n+1) уравнениям следует добавить граничные условия, записанные также в матричной форме.
Для шарнирно неподвижного края в n точке
(9)
В случае защемленного края оболочки граничные условия в n
точке будут
(10)
Для замкнутой оболочки при n = 0 получим
(11)
Матрицу дифференцирования можно построить разными способами: с помощью сплайнов, или прибегнуть к аппроксимации функции и ее производной полиномами.
А.В. Александров вывел [9] матрицу дифференцирования {d} и {D} для равномерного шага. Однако рациональнее принять шаг неравномерным, выбирая его в зависимости от гладкости функций.
Для построения матрицы дифференцирования для неравномерного шага проводим параболу n+1-го порядка через точки y0, y1, …yn c заданной производной в точке 0 у0ʹ Искомая функция при этом аппроксимируется многочленом n - й степени У(х), удовлетворяющим условиям У(хk) = у(хk) = уk в n +2 точках интерполяции хk (k = -1, 0, 1, … n). Неизвестное значение у в точке k = -1 определяется через производную у0ʹ в точке k = 0.
Воспользуемся интерполяционной формулой Лагранжа [11]
(12)
Продифференцируем выражение для У(х)
(13)
Для определения значения у-1 запишем производную Уʹ в точке х0 = 0 и приравниваем к у0ʹ. Тогда имеем
(14)
После преобразований формула () принимает вид
(15)
Подставляя () в () получаем
(16)
После простых преобразований получим
(17)
С помощью формулы (17) можно написать матричную формулу численного дифференцирования при переменном шаге разбиения
(18)
Или
(19)
Где элементы вектора {d} и {D} вычисляются по формулам
(20)
При равномерном шаге матрица дифференцирования получается такой же, как у А.В. Александрова [9].
Рассмотрим для сравнения три матрицы дифференцирования:
- матрицу дифференцирования, полученную с помощью кубических сплайнов,
- матрицу дифференцирования А.В. Александрова [9] для равномерного шага,
- матрицу дифференцирования, полученную выше для неравномерного шага (п = 6).
Результаты расчета замкнутой сферической оболочки с жестко защемленным опорным контуром под действием нормальной равномерно распределенной нагрузки (ƞ = 100, 00 ≤ ß ≤ 300) даны в та6лице 1.
Значения сравниваются с точным решением, полученным И.С. Ахмедьяновым [12. 13. 14. 15] (4 столбик таблицы).
Таблица 1
Сравнение матриц дифференцирования
|
ß |
Методы решения |
||||||
|
1 |
% |
2 |
% |
3 |
% |
4 |
|
|
|
Изгибающие моменты |
||||||
|
12 |
|
|
|
|
- 0,00487 |
8 |
- 0,00448 |
|
15 |
- 0,03345 |
34 |
- 0,04617 |
8,7 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
-0,12241 |
5,6 |
- 0,12968 |
|
20 |
-0,18679 |
0,9 |
- 0,18596 |
1,4 |
|
|
- 0,18853 |
|
24 |
|
|
|
|
-0,19537 |
2,1 |
- 0,19963 |
|
25 |
-0,15743 |
10,3 |
- 0,13114 |
8,1 |
|
|
- 0,14272 |
|
27 |
|
|
|
|
0,11287 |
4 |
0,10847 |
|
30 |
0,96670 |
0,1 |
0,96914 |
0,2 |
0,96991 |
0,2 |
0,96741 |
|
|
Поперечная сила |
||||||
|
12 |
|
|
|
|
-0,00565 |
12 |
- 0,00504 |
|
15 |
-0,01138 |
4,4 |
- 0,01079 |
1 |
|
|
- 0,10908 |
|
18 |
|
|
|
|
- 0,01529 |
3 |
- 0,01576 |
|
20 |
- 0,01995 |
27 |
- 0,01462 |
0,1 |
|
|
- 0,01461 |
|
24 |
|
|
|
|
0,01768 |
0,1 |
0,01769 |
|
25 |
0,03911 |
8,7 |
0,03710 |
3 |
|
|
0,03598 |
|
27 |
|
|
|
|
0,08792 |
0,1 |
0,08798 |
|
30 |
0,19690 |
0,5 |
0,19726 |
0,3 |
0,19690 |
0,02 |
0,19785 |
Из сравнения результатов видно, что наибольшую точность дает матрица дифференцирования с неравномерным шагом. Ошибка в этом случае в зоне краевого эффекта меньше
4 %.
